====== 冪関数の微分 ======
===== 自然数冪 =====

$$ (x^n)'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$

$n\ge2$のとき、二項定理より
$$(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+{}_nC_k x^{n-k}h^k+\cdots+h^n$$であるから
$$(x+h)^n-x^n=nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n$$
$$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$
$$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}$$
したがって、
$$ (x^n)'=nx^{n-1}$$