====== 基本変形と基本行列 ======
===== 基本変形 =====
  * ある行（列）と他の行（列）を入れ替える
  * ある行（列）を定数倍する
  * ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える

  ; 行基本変形 : （$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）
  ; 列基本変形 : （$(n\times m)$行列）（$(m\times m)$基本行列）


===== 基本行列 =====
==== 置換 ====

$$
T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&0&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&0&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right]$$

  * $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$ 
  * ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
  * $|T_{ij}|=-1$
  * $|T_{ij}A|=-|A|$
  * $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$
==== スケール変換 ====
$$
D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right] $$

  * $(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
  * $D_{i}(1)=E$
  * $|D_{i}(s)|=s$
  * $|D_{i}(s)A|=s|A|$
  * $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$
==== Row-addition transformations ====
$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&s&{}&{}\\
{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right]$$

  * $(L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$
  * $L_{ij}(0)=E$
  * $|L_{ij}(s)|=1$
  * $|L_{ij}(s)A|=|A|$
  * $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$