====== フーリエ解析のための準備 2 ======
  - 三角関数
  - 指数関数
  - テーラー展開（マクローリン展開）
  - オイラーの公式
  - 複素三角関数の微積分
===== テーラー展開 =====
$$
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\displaystyle\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots
$$

$$
f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n
$$

==== マクローリン展開 ====
$$
f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n
$$
===== オイラーの公式 =====
$$
{\rm e}^{ix}=\cos x+i\sin x
$$

$${\rm e}^{i0}=1$$
$${\rm e}^{i\pi}=-1$$
$${\rm e}^{-i\pi}=-1$$
$${\rm e}^{i2\pi}=1$$
$${\rm e}^{i\frac{\pi}{2}}=i$$
$${\rm e}^{-i\frac{\pi}{2}}=-i$$
$${\rm e}^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$$

===== 複素三角関数の微積分 =====
$$
\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}{\rm e}^{ikx}=ik{\rm e}^{ikx}
$$

$$
\displaystyle\int{\rm e}^{ikx}{\rm d}x=\frac{{\rm e}^{ikx}}{ik}+C
$$(${C}$は積分常数)


$$
\displaystyle\int_a^b{\rm e}^{ikx}{\rm d}x=\left[\frac{{\rm e}^{ikx}}{ik}\right]_a^b=\frac{{\rm e}^{ikb}-{\rm e}^{ika}}{ik}
$$