====== 楔形関数のフーリエ変換／三角波のフーリエ展開 ======
$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$
とすると$F(u)$は
$$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$
これに$-a<x<a$で
$$ f(x) = b\left(1-\frac{|x|}{a}\right) $$
を代入すると
$$ F(u)=\frac{b}{2\pi}\int_{-a}^{a}\left(1-\frac{|t|}{a}\right)e^{-iut}dt $$
ただし$a>0$, $b>0$とする。

$f(x)$が偶関数であることを用いると
$$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$

ここで
$$ \frac{d}{dt}\left\{\left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)\right\}=-\frac{1}{a}\sin(ut)+\left(1-\frac{t}{a}\right)u\cos(ut)$$

この両辺を$t$で不定積分すると、
$$ \left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)=\frac{1}{au}\cos(ut)+u\int\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$
ただし積分定数は省略した。これより$[0,a]$の定積分は
$$ \left[\left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)\right]_{t=0}^{t=a}=0=\frac{1}{au}(\cos(au)-1)+u\int_0^a\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$
したがって

$$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt=\frac{b}{\pi}\frac{1}{au^2}(1-\cos(au))$$

ここで、
$$\cos z=1-2\sin^2\frac{z}{2}$$
をもちいると、
$$ F(u)=\frac{2b}{\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{au^2}=\frac{ab}{2\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{(\frac{au}{2})^2}$$