====== いろいろな積分 ======
===== 指数関数×三角関数 =====
$$
\frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\sin(bx)\right)=-a e^{-ax}\sin(bx)+b e^{-ax}\cos(bx)
$$

$$
e^{-ax}\sin(bx)+C=-a \int e^{-ax}\sin(bx)dx +b \int e^{-ax}\cos(bx)dx
$$

$$
\frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\cos(bx)\right)=-a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx)
$$

$$
e^{-ax}\cos(bx)+C=-a \int e^{-ax}\cos(bx)dx-b \int e^{-ax}\sin(bx)dx
$$

$$
\frac{d}{dx}
\begin{bmatrix}
e^{-ax}\cos(bx)\\e^{-ax}\sin(bx)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx)\\b e^{-ax}\cos(bx)-a e^{-ax}\sin(bx)
\end{bmatrix}
=
-\begin{bmatrix}
a&b\\-b&a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{-ax}\cos(bx)\\e^{-ax}\sin(bx)
\end{bmatrix}
$$


==== 行列の対角化 ====
$$
\begin{bmatrix}
a&b\\-b&a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}
=\lambda
\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{vmatrix}
a-\lambda&b\\-b&a-\lambda
\end{vmatrix}=0
$$

$$
\begin{align}
(a-\lambda)^2+b^2&=0\\
\lambda-a&=\pm bi\\
\lambda&=a\pm bi\\
\end{align}
$$

$\lambda=a+ bi$のとき

$$
\begin{bmatrix}
-bi&b\\-b&-bi
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}
=0
$$

$\lambda=a- bi$のとき
$$
\begin{bmatrix}
bi&b\\-b&bi
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}
=0
$$