====== 定数関数のフーリエ変換 ======
$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$
とすると$F(u)$は
$$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$
これに$-a<x<a$では
$$ f(x) = b $$
$x< -a$もしくは$a<x$では
$$ f(x) = 0 $$
を代入すると
$$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}be^{-iut}dt $$


$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\left[\frac{1}{-iu}e^{-iut}\right]_{-a}^{a}$$

$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\frac{1}{-iu}\left(e^{-iua}-e^{iua}\right)$$

$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{1}{u}\frac{e^{iua}-e^{-iua}}{2i}$$

$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{\sin(au)}{u}$$

したがって
$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$
を具体的に書き下すと
$$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$
$-a<x<a$では
$$ b =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$
$x< -a$もしくは$a<x$では
$$ 0 =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$