====== 交換相関ポテンシャル ======
例として電子を二つだけ考えて、この二つの電子の間に働くクーロン相互作用について考察してみよう。
二つの電子に対する波動関数を

$$
\Psi(q_1, q_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)-\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)\right)
$$

$$
q_1 = (\vec{r_1}, \sigma_1)=(x_1, y_1, z_1, \sigma_1)
$$

$$
V(\vec{r_1}, \vec{r_2})=\displaystyle\frac{e^2}{|\vec{r_1}- \vec{r_2}|}
$$

$$
\langle\Psi|V|\Psi\rangle
$$
$$
=\frac{1}{2}
$$

$$
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)-\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
|V|
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)-\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
\rangle
$$

$$
=\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)
|V|
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)
\rangle
$$

$$
-\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)
|V|
\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
\rangle
$$
$$
-\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
|V|
\phi_a(q_1)\phi_b(q_2)
\rangle
$$
$$
+\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
|V|
\phi_a(q_2)\phi_b(q_1)
\rangle
$$

$$
=\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q)\phi_b(q')
|V|
\phi_a(q)\phi_b(q')
\rangle
$$
$$
-\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q)\phi_b(q')
|V|
\phi_a(q')\phi_b(q)
\rangle
$$
$$
-\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q)\phi_b(q')
|V|
\phi_a(q')\phi_b(q)
\rangle
$$
$$
+\frac{1}{2}\langle
\phi_a(q)\phi_b(q')
|V|
\phi_a(q)\phi_b(q')
\rangle
$$