====== アンサンブル平均 ====== ===== 物理量の期待値 ===== 物理量の期待値は\\ $$\displaystyle\langle A\rangle=\sum_{j=0}^{M-1}u_jA_j$$\\ で与えられる。 ただし、\\ $ M$ は系の状態の数、\\ $u_j$ は状態$ j$の実現する確率、\\ $A_j$ は状態$ j$が実現しているときの物理量$ A$の値、\\ である。 ===== 状態の実現する確率 ===== ==== 粒子数が変化しない場合（Canonical Ensemble） ==== 統計力学の帰結から、状態$ J$ が実現する確率$ u_J$ は、その状態のエネルギー$ E_J$ と温度$ T$ をもちいて $u_J\propto\exp\left(-\displaystyle\frac{E_J}{k_B T}\right)$ のように書ける。ただし、$ k_B$はボルツマン定数である。 分配関数 $ Z$を $Z = \displaystyle\sum_{J}u_J=\sum_{J}\exp\left(-\frac{E_J}{k_B T}\right)$ と定義すると、期待値$ \langle A\rangle$は $ \langle A\rangle=\displaystyle\sum_{J}A_J\exp\left(-\frac{E_J}{k_B T}\right)$ で与えられる。 === 例 === 粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、その上にN 個の粒子が吸着しているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。 吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる M =4 N =1 J=0　 1000 J=1 　0100 J=2 　0010 J=3 　0001 状態 J の全系のエネルギーは、 状態 J の生じる確率は、 ； 課題1: 上の例で、M =4 N =2 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。 ==== 粒子数が変化する場合（Grand Canonical Ensemble） ==== 統計力学の帰結から、状態 J が実現する確率は、その状態のエネルギー EJ 、温度 T、粒子数 N 、化学ポテンシャル m で以下のように書ける。 ； はボルツマン定数 大分配関数 期待値 例：粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、粒子が吸着したり脱離したりしているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。 吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる M =3 J=0 　000 J=1 　100 J=2 　010 J=3 　001 J=4 　110 J=5 　101 J=6 　011 J=7 　111 状態 J の全系の粒子数は、 ； （はi番目の「席」に吸着していれば1、そうでなければ0） 状態 J の全系のエネルギーは、 状態 J の生じる確率は、 ； 課題2: 上の例で、M =4 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。 課題3: 上の例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、現在最高のコンピュータは１秒間に約 109 回の演算ができると言われているが、M = 100 の系での平均値を計算するのに、このコンピュータで最低どれだけの時間がかかるか求める。 ; 課題1 : Canonical Ensembleの例で、M=4, N=2のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。 ; 課題2 : Grand Canonical Ensembleの例で、M=4のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。 ; 課題3 : Grand Canonical Ensembleの例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、１秒間に約 1012 回の演算ができるコンピュータを用いた場合、M = 100 の系での平均値を計算するのに、最低どれだけの時間がかかるか求める。