amath2:指数関数
差分
このページの2つのバージョン間の差分を表示します。
両方とも前のリビジョン前のリビジョン次のリビジョン | 前のリビジョン次のリビジョン両方とも次のリビジョン | ||
amath2:指数関数 [2020/01/08 12:50] – kimi | amath2:指数関数 [2020/01/08 12:54] – kimi | ||
---|---|---|---|
行 13: | 行 13: | ||
$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | ||
- | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$ |
- | ここで$e^{-at^2}\sin(ut)$を$t$で微分してみると | + | |
- | $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]=-2ate^{-at^2}\sin(ut)+ue^{-at^2}\cos(ut)$$ | + | |
- | この両辺を$[-\infty, | + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$ |
- | $$ \left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]_{-\infty}^{\infty}=-2a\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt+u\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ | + | |
左辺は零になるので | 左辺は零になるので |
amath2/指数関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1